循环矩阵求特征值的方法

发布时间:2021-12-02 04:43:54


根据https://max.book118.com/html/2016/0519/43353557.shtm整理修订





文章目录
1.循环矩阵的定义2.循环矩阵的性质3.循环矩阵的逆及特征值4.利用循环矩阵求特征值的方法求Jacobi矩阵的特征值


1.循环矩阵的定义

定义1 数域




P



mathbb{P}


P上的




n


×


n



n imes n


n×n矩阵






C


n



=


c


i


r


c


(



c


0



,



c


1



,


?
?

,



c



n


?


1




)


=



(







c


0








c


1








c


2







?







c



n


?


1









c



n


?


1











c



n


?


1









c


0








c


1







?







c



n


?


3









c



n


?


2










?









?









?









?






?









?












c


2








c


3








c


4







?







c


0








c


1










c


1








c


2








c


3







?







c



n


?


1









c


0







)




C_{n} = circ(c_0, c_1, cdots, c_{n-1}) = egin{pmatrix} c_0 & c_1 & c_2 & cdots & c_{n-1} & c_{n-1} \ c_{n-1} & c_0 & c_1 & cdots & c_{n-3} & c_{n-2} \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ c_2 & c_3 & c_4 & cdots & c_{0} & c_{1}\ c_1 & c_2 & c_3 & cdots & c_{n-1} & c_{0}\ end{pmatrix}


Cn?=circ(c0?,c1?,?,cn?1?)=????????c0?cn?1??c2?c1??c1?c0??c3?c2??c2?c1??c4?c3????????cn?1?cn?3??c0?cn?1??cn?1?cn?2??c1?c0??????????
其中





c


i






P



c_i in mathbb{P}


ci?∈P,称





C




n



C_{}n


C?n为




n


×


n



n imes n


n×n循环矩阵。


取基本循环矩阵为





A


=



(






0






1






0






?






0






0








0






0






1






?






0






0








?









?









?









?






?









?











0






0






0






?






0






1








1






0






0






?






0






0






)




A = egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 \ end{pmatrix}


A=????????00?01?10?00?01?00???????00?00?00?10?????????






C


n




C_{n}


Cn?可以写作






C


n



=



c


0



I


+



c


1




A


1



+



c


2




A


2



+


?


+



c



n


?


1





A



n


?


1




=







i


=


0




n


?


1





c


i




A


i



.



C_{n} = c_0 I + c_1 A^1 + c_2 A^2 + cdots + c_{n-1} A^{n-1} = sum_{i=0}^{n-1} c_i A^i.


Cn?=c0?I+c1?A1+c2?A2+?+cn?1?An?1=i=0∑n?1?ci?Ai.


定理1 数域




P



mathbb{P}


P上的




n


×


n



n imes n


n×n矩阵





C


n



=


(



C



i


,


j




)



C_{n}=(C_{i,j})


Cn?=(Ci,j?)为循环矩阵的充分必要条件是,当





k


=



{







i


?


j


,








i





j










i


?


j


+


n


,








i


<


j









k=egin{cases} i-j, &i geq j\ i-j+n, &i < j end{cases}


k={i?j,i?j+n,?i≥ji时,





C



i


,


j




=



c


k




C_{i,j} = c_k


Ci,j?=ck?,其中




i


,


j


,


k


=


0


,


1


,


2


,


?
?

,


n


?


1



i,j,k = 0,1,2,cdots, n-1


i,j,k=0,1,2,?,n?1。


2.循环矩阵的性质

性质1 基本循环矩阵





A


1



,



A


2



,


?
?

,



A


n




A^1, A^2, cdots, A^n


A1,A2,?,An是线性无关的。
证明









A


2









=



(






0






1






0






?






0






0








0






0






1






?






0






0








?









?









?









?






?









?











0






0






0






?






0






1








1






0






0






?






0






0






)




(






0






1






0






?






0






0








0






0






1






?






0






0








?









?









?









?






?









?











0






0






0






?






0






1








1






0






0






?






0






0






)



=



(






0






0






1






?






0






0








0






0






0






?






0






0








?









?









?









?






?









?











1






0






0






?






0






0








0






1






0






?






0






0






)











A


3









=



(






0






0






0






?






0






0








0






0






0






?






0






0








?









?









?









?






?









?











0






1






0






?






0






0








0






0






1






?






0






0






)










?









A


n









=



(






1






0






0






?






0






0








0






1






0






?






0






0








?









?









?









?






?









?











0






0






0






?






1






0








0






0






0






?






0






1






)



=



I


n








egin{aligned} A^2 &= egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 \ end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 \ 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 \ end{pmatrix} =egin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 \ end{pmatrix} \ A^3 & =egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & cdots & 0 & 0 \ end{pmatrix} \ cdots \ A^n &= egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ 0 & 0 & 0 & cdots & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 \ end{pmatrix} = I_{n} end{aligned}


A2A3?An?=????????00?01?10?00?01?00???????00?00?00?10?????????????????00?01?10?00?01?00???????00?00?00?10?????????=????????00?10?00?01?10?00???????00?00?00?00?????????=????????00?00?00?10?00?01???????00?00?00?00?????????=????????10?00?01?00?00?00???????00?10?00?01?????????=In??


性质2 任意




n



n


n阶循环矩阵





C


n




C_n


Cn?都可以用基本循环矩阵线性表出,即






C


n



=



c


0



I


+



c


1




A


1



+



c


2




A


2



+


?


+



c



n


?


1





A



n


?


1




=







i


=


0




n


?


1





c


i




A


i



.



C_{n} = c_0 I + c_1 A^1 + c_2 A^2 + cdots + c_{n-1} A^{n-1} = sum_{i=0}^{n-1} c_i A^i.


Cn?=c0?I+c1?A1+c2?A2+?+cn?1?An?1=i=0∑n?1?ci?Ai.


性质2 任意




n



n


n阶基本循环矩阵




A



A


A的乘积仍为基本循环矩阵。


定理2 数域




P



mathbb{P}


P上的




n


×


n



n imes n


n×n循环矩阵按照矩阵的加法乘法构成一个向量空间,基为





A


1



,



A


2



,


?
?

,



A


n




A^1, A^2, cdots, A^n


A1,A2,?,An,零向量为





A


n



=



I


n




A^n = I_n


An=In?,负向量为




?


A



-A


?A。


性质3 循环矩阵的乘积还是循环矩阵。


证明




B


,


C



B,C


B,C都是




n



n


n阶循环矩阵,用基本循环矩阵表示




B


=







i


=


1



n




b


i




A


i




B = sum_{i=1}^{n}b_i A^i


B=∑i=1n?bi?Ai和




C


=







i


=


1



n




c


i




A


i




C = sum_{i=1}^{n}c_i A^i


C=∑i=1n?ci?Ai,则









B


C









=



(







i


=


1



n




b


i




A


i



)




(







i


=


1



n




c


i




A


i



)



=







i


=


1



n








j


=


1



n




b


i




c


j




A


i




A


j

















=







i


=


1


,


j


=


1



n




b


i




c


j




A



(


(


i


+


j


)





m


o


d

??

n


)


















=







k


=


1



n




(












i


,


j


=


1


,










i


+


j


=


k





m


o


d





n








n




b


i




c


j



)




A


k



.







egin{aligned} BC & = left( sum_{i=1}^{n}b_i A^i ight) left( sum_{i=1}^{n}c_i A^i ight) = sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{n} b_i c_j A^i A^j \ & = sum_{i=1,j=1}^{n} b_i c_j A^{((i+j) mod n)} \ & = sum_{k=1}^{n} left( sum_{ iny egin{array}{l} i,j=1, \ i+j = k mod n end{array} }^{n} b_i c_j ight) A^k. end{aligned}


BC?=(i=1∑n?bi?Ai)(i=1∑n?ci?Ai)=i=1∑n?j=1∑n?bi?cj?AiAj=i=1,j=1∑n?bi?cj?A((i+j)modn)=k=1∑n?????i,j=1,i+j=kmodn?∑n?bi?cj?????Ak.?


定理3 循环矩阵的伴随矩阵是循环矩阵。


证明





C


n




C_n


Cn?是




n



n


n阶循环矩阵





C


n



=







i


=


1



n




c


i




A


i




C_n = sum_{i=1}^{n}c_i A^i


Cn?=∑i=1n?ci?Ai,下面分两种情况考虑。


(1),当





C


n




C_n


Cn?为可逆矩阵时,考虑线性方程组





C


n


T




x


?



=


(


?



C


n



?


,


0


,


?
?

,


0



)


T




C_n^T vec{x} = (|C_n|,0,cdots, 0)^T


CnT?x
=(?Cn??,0,?,0)T,因为系数矩阵的行列式




?



C


n


T



?


=


?



C


n



?





0



|C_n^T| = |C_n|
eq 0


?CnT??=?Cn????=0。故方程组存在唯一的解,设为





x


?



=


(



b


1



,



b


2



,


?
?

,



b


n




)


T




vec{x} = (b_1,b_2,cdots,b_n)^T


x
=(b1?,b2?,?,bn?)T。







B


=







i


=


1



n




b


i




A


i




B=sum_{i=1}^{n} b_i A^i


B=∑i=1n?bi?Ai,则





B


C


=







k


=


1



n




(












i


,


j


=


1


,










i


+


j


=


k





m


o


d





n








n




b


i




c


j



)




A


k




BC = sum_{k=1}^{n} left( sum_{ iny egin{array}{l} i,j=1, \ i+j = k mod n end{array} }^{n} b_i c_j ight) A^k


BC=k=1∑n?????i,j=1,i+j=kmodn?∑n?bi?cj?????Ak









x


?



T




C


n



=


(


?



C


n



?


,


0


,


?
?

,


0


)



vec{x}^T C_n = (|C_n|,0,cdots, 0)


x
TCn?=(?Cn??,0,?,0),对比有




B



C


n



=


?



C


n



?



I


n




BC_n = |C_n|I_n


BCn?=?Cn??In?。从而有




B


=


?



C


n



?



C


n



?


1




=



C


n


?




B=|C_n| C_n^{-1} = C_{n}^{*}


B=?Cn??Cn?1?=Cn??,显然




B



B


B为循环矩阵。


(2)当





C


n




C_n


Cn?为不可逆矩阵时,考虑





C


n



?


t


A



C_n-tA


Cn??tA, 其行列式为




f


(


t


)


=


det


?


(


C


?


t


A


)



f(t)=det(C-tA)


f(t)=det(C?tA)为




t



t


t的




n



n


n次多项式,在数域




P



mathbb{P}


P至多有




n



n


n个根,当




t



t


t大于最大的根





t


0




t_0


t0?时,




f


(


t


)


=


det


?


(


C


?


t


A


)





0



f(t)=det(C-tA)
eq 0


f(t)=det(C?tA)??=0,则矩阵





C


n



?


t


A



C_n-tA


Cn??tA可逆。


再根据(1),可知伴随矩阵






(



C


n



?


t


A


)



?



=



(



a



i


,


j




(


t


)


)




left( C_n-tA ight)^{*} = left( a_{i,j}(t) ight)


(Cn??tA)?=(ai,j?(t))为循环矩阵,所以满足循环矩阵的充要条件:





k


=



{







i


?


j


,








i





j









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